1985 – 8(3)

Pierre-Simon, markies van Laplace

Vanaf het einde van de 18e eeuw wijdde Laplace talloze memoires aan de waarschijnlijkheidstheorie. De meeste hiervan zijn opgenomen in zijn meesterlijke wiskundige werk, de Analytische waarschijnlijkheidstheorie waarvan de eerste publicatie dateert uit 1812. Dit werk vormt ongetwijfeld de meest uitgebreide uiteenzetting tot nu toe van de klassieke waarschijnlijkheidstheorie. Het bevat zowel een verzameling nieuwe wiskundige technieken, waarvan het gebruik van genererende functies de belangrijkste is, als een zeer breed scala aan toepassingen. De auteur is geïnteresseerd in kansspelen, astronomie, sociologie, demografie.

In L'Filosofisch essay over waarschijnlijkheid die, voordat ze onafhankelijk werden gepubliceerd, de inleiding vormden tot de Analytische waarschijnlijkheidstheorielegt Laplace de principes van zijn theorie uit. De eerste hiervan is de definitie (T). Het is gerechtvaardigd binnen het raamwerk van een puur deterministische filosofie. Voor een alwetende geest zou alle kennis zekerheid zijn. Het is de eindigheid van de menselijke conditie die ons beperkt tot een probabilistische beschrijving. Sindsdien, "De toevalstheorie bestaat erin alle gebeurtenissen van dezelfde soort terug te brengen tot een bepaald aantal even mogelijke gevallen, dat wil zeggen zodanig dat we even onbeslist zijn over hun bestaan, en uit het bepalen van het aantal gunstige gevallen voor de gebeurtenis waarvan we zoek naar de waarschijnlijkheid» (Laplace, 1840, p. 7). Laplace identificeert daarom het concept van ‘equipossibility’ met dat van ‘equi-ignorance’, waardoor het mogelijk wordt om het idee van waarschijnlijkheid uit te breiden naar alle denkbare gebeurtenissen. De weg ligt dan open voor allerlei praktische toepassingen, inclusief spelen uiteraard. [[Kansspelen zijn veel meer dan een simpele illustratie. Ze worden te allen tijde gebruikt als voorbeelden, zelfs als modellen, voor de theorie. Op pagina's 1 tot 28 (presentatie van de principes vanEssay, het spel van “kruisen of staarten” wordt aangehaald op pagina's 12, 16, 18, 19, 23, 25; de loting (loterij of stembus) op pagina's 7, 9, 15, 19 en 20; het dobbelspel verschijnt alleen op pagina 13. ]].

In een hoofdstuk van Verhandeling getiteld “Wetten van waarschijnlijkheid die voortvloeien uit de onbepaalde vermenigvuldiging van gebeurtenissen” (Laplace, 1887, deel 7, pp. 280-308), demonstreert de auteur de stelling van Bernoulli (opnieuw) met behulp van genererende functies en verdedigt hij het omgekeerde gebruik ervan als een hulpmiddel voor gevolgtrekkingen:

“ We komen rechtstreeks tot deze resultaten door p [[P duidt hier de a priori waarschijnlijkheid (T) aan.]] te beschouwen als een variabele die zich kan uitstrekken van nul tot één, en door, op basis van de waargenomen gebeurtenissen, de waarschijnlijkheid te bepalen [[ waarschijnlijkheid (E) hier. ]]van de verschillende waarden ervan » (Laplace, 1887, deel 7, p. 287).

In L'Essay (Laplace, 1840, pp. 70-71), neemt hij het idee over:

“ We kunnen putten uit de vorige stelling [van Bernoulli], deze consequentie, die als een algemene wet moet worden beschouwd, namelijk dat de relaties tussen de gevolgen van de natuur vrijwel constant zijn, wanneer deze gevolgen in grote aantallen worden beschouwd. (…). Uit deze stelling volgt ook dat in een oneindig langdurige reeks gebeurtenissen de werking van reguliere en constante oorzaken moet prevaleren boven die van onregelmatige oorzaken. ".

Om zijn probabilistische wiskundige technieken in ‘vermoedelijke wetenschappen’ en ‘moraalwetenschappen’ te kunnen exploiteren, compenseert Laplace het tekort aan a priori waarschijnlijkheden, soms door Bernoulliaanse pseudo-inferentie, soms door externe overwegingen gebaseerd op ‘gezond verstand’:

“ Als in een tribunaal van duizend en één rechters vijfhonderd en één dezelfde mening hebben, en vijfhonderd de tegengestelde mening hebben, is het zichtbaar dat de waarschijnlijkheid van de mening van elke rechter zeer weinig groter is dan 1/2; omdat ervan uitgaande dat het aanzienlijk groter zou zijn, een enkele stem van verschil een onwaarschijnlijke gebeurtenis zou zijn. Maar als de rechters unaniem zijn, geeft dit in het bewijsmateriaal de mate van geweld aan die tot een veroordeling leidt; de waarschijnlijkheid van elke rechter ligt daarom zeer dicht bij eenheid of zekerheid, tenzij gemeenschappelijke passies of vooroordelen alle rechters tegelijkertijd misleiden. » (Laplace, 1840, p. 158).

We zijn dus verre van het strikte gebruik van (T). En met goede reden: het zou moeilijk zijn om de ‘gunstige gevallen’ te onderscheiden die verband houden met de waarheidsgetrouwheid van de mening van een rechter. In dergelijke situaties gebruikt de auteur – althans wiskundig gezien – willekeurige aannames.