1985 – 8(3)

We beschouwen een gebeurtenis die, in één proef, een waarschijnlijkheid (T)p heeft om zich voor te doen. Er worden opeenvolgende tests uitgevoerd. Hoe groter v is, hoe groter de waarschijnlijkheid (T) dat de relatieve frequentie, dat wil zeggen de waarschijnlijkheid (E), dichtbij p ligt.

Momenteel formuleren we deze stelling in termen van "convergentie in waarschijnlijkheid van de relatieve frequentie naar waarschijnlijkheid" wanneer het getal v naar oneindig neigt, maar het zou de denkwijze van de auteur verraden om hier het concept van limiet te introduceren. Bernoulli houdt zich op zijn beurt bezig met het afbakenen van intervallen rond de a priori waarschijnlijkheid p, waarin de relatieve frequentie (voor v voldoende groot) zeer waarschijnlijk zal liggen (in de zin van (T)).

Aldus gesteld stelt de ‘wet van de grote getallen’ vast in welke termen we waarschijnlijkheid (E) kunnen beschouwen als een benadering van waarschijnlijkheid (T). Deze voorwaarden zijn duidelijk:

1. De initiële gebeurtenis moet een a priori waarschijnlijkheid (T) hebben, zoals hier vermeld p.
2. De nabijheid van p en de relatieve frequentie worden uitgedrukt als waarschijnlijkheid (T).

Deze stelling biedt dus een theoretische rechtvaardiging voor het bestaande verband, bij kansspelen, tussen de theoretische waarschijnlijkheden (T) en de waarnemingen van mogelijke spelers.

De grenzen van de legitimiteit van het gebruik van de stelling zijn daarom nauwkeurig. De groei die de wiskundige theorie doormaakte na de publicatie vanArs Conjectandi kan, op zijn minst gedeeltelijk, worden toegeschreven aan wat we het omgekeerde gebruik van de stelling van Bernoulli zijn gaan noemen en dat niets anders is dan een beledigende interpretatie van de initiële stelling die gebruik maakt van de stelling – nabijheid van de waarschijnlijkheden (T) en (E ) – om de hypothese – waarde van de waarschijnlijkheid (T) – af te leiden door extrapolatie uit experimentele metingen van de relatieve frequentie (E). Deze omkering was zeer succesvol [[Todhunter (1949, p. 73), wijst er echter op dat Leibniz terughoudend was om deze over te nemen. ]]onder wiskundigen omdat het een nieuwe deur voor hen opende, die van statistische gevolgtrekking, naar toepassingsgebieden van hun combinatorische theorieën die veel breder zijn dan alleen de studie van kansspelen.

Wij willen hier het belang van deze omkering benadrukken. Het vormt inderdaad een ‘herstel’ van de empiristische stroming van theoretici, aangezien laatstgenoemden niet alleen in staat zijn om (E) te interpreteren als een benadering van (T) in de domeinen van strikte toepasbaarheid van (T) – via de (directe) stelling van Bernoulli – maar bovendien kunnen ze – via het tegenovergestelde gebruik – ‘theoretiseren’ over gebeurtenissen waarvoor ze absoluut niet in staat zijn de getallen m en n te evalueren die betrokken zijn bij (T) [[ We zullen vinden in Kneale (1949, pp. 201-214) een studie van de verschillende pogingen – van Bernoulli tot Keynes (1921) via Laplace – om dit omgekeerde gebruik te rechtvaardigen. ]]. Naar onze mening houdt de mogelijkheid van een dergelijk herstel in wezen verband met de dubbelzinnigheid van het concept van waarschijnlijkheid, waarvan het ontbreken van een expliciete definitie symptomatisch is.

Van Bernoulli tot Laplace

De 18e eeuw, met zijn nieuwe stelling, zag de bloei van talrijke theoretische werken. Wiskundigen bleven combinatorische methoden in de speltheorie ontwikkelen, terwijl ze deze op verschillende gebieden toepasten. De definitie (T) werd gegeneraliseerd naar het geval waarin n oneindig is dankzij differentiaal- en integraalrekening. Aan theoretische verbeteringen werden soms morele of metafysische opvattingen over toeval toegevoegd.

De grote namen van die tijd zijn die van Pierre Remond de Montmort, Abraham de Moivre, Nicolas Bernoulli, Daniel Bernoulli, Léon Euler, de originele Jean le Rond d'Alembert, Thomas Bayes, Louis de Lagrange, Georges-Louis Leclerc de Buffon, Antoine de Condorcet… We zullen hier niet proberen de grote lijnen van de theorieën van deze wetenschappers, zelfs niet in het kort, te schetsen. We zullen ons beperken tot de opmerking dat deze mannen, voornamelijk Fransen, zoals Pascal en Laplace, meestal wiskundigen waren. We constateren echter enkele scrupules van het empiristische type, onder meer bij Daniel Bernoulli en Buffon, maar we waren nog steeds ver verwijderd van enige statistische theorie die gericht was op het structureren van de analyse van experimentele gegevens.