1988 – 11(3/4)

BEOORDELINGEN

BRUG, Jean-Claude

Het avontuur van parallellen. Geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde: voorlopers en achterblijvers

Bern-Frankfurt-New York, Peter Lang, 1986

Sinds Euclides heeft de theorie van de parallellen aanleiding gegeven tot talloze werken en hartstochtelijke controverses, waarvan Jean-Claude Pont de geschiedenis heeft willen nagaan. Hij presenteert eerst een overvloedig boekdeel van 736 pagina's, over de voorlopers en de achterblijvers van de niet-Euclidische meetkunde... door de titel alleen al wordt de lezer gewaarschuwd dat hij hier niet de presentatie zal vinden van de beslissende bijdragen van Gauss, Lobatsjevski en Jànos Bolyai, niet meer dan hun opvolgers; de auteur steekt zijn voornemen niet onder stoelen of banken om nog een deel aan deze bijdragen te wijden.

In de Elementen van Euclides, drie eeuwen vóór onze jaartelling geschreven en waarvan we de oorspronkelijke tekst niet hebben, worden de bijdragen van eerdere auteurs als Eudoxus of Theaetetus samengevoegd tot een gestructureerde presentatie, waarbij de nadruk meteen wordt gelegd op enkele onbewezen stellingen, axioma’s of postulaten. Het onderscheid tussen de twee begrippen, afhankelijk van de vraag of het 'vanzelfsprekende' of conventioneel aanvaarde eigenschappen zijn, is door de eeuwen heen gefluctueerd en geleidelijk vervaagd; de auteur beschrijft deze evolutie.

Het vijfde postulaat van Euclides vond al snel ingang. Oorspronkelijk zei hij dat als (in een vlak) een rechte lijn die twee rechte lijnen ontmoet, binnenhoeken maakt aan dezelfde kant waarvan de som kleiner is dan twee rechte lijnen, de twee verlengde rechte lijnen elkaar voor onbepaalde tijd aan die kant ontmoeten. Het is dit dat de heer Pont het postulaat P noemt. Het is beter bekend onder het postulaat (of axioma) van parallellen, omdat het erop neerkomt dat door een punt buiten een lijn een enkele parallel met deze lijn passeert: meer precies: het komt overeen met de bevestiging van uniciteit, aangezien het bestaan van ten minste één parallel al wordt gegarandeerd door de andere postulaten. De controverses die P sinds de oudheid heeft opgeroepen, concentreerden zich niet op de waarheidsgetrouwheid ervan, maar op de voor de hand liggende aard ervan. Talloze auteurs hebben daarom geprobeerd dit aan te tonen op basis van andere postulaten: dit zijn de postulaten die de heer Pont noemt P-miciden, dat wil zeggen postulatummoordenaars. Hij behoudt nog steeds de naam van p²-miciden aan de moordenaars van P-miciden, namelijk de auteurs die, net als Klügel, het op zich hebben genomen de tekortkomingen in de redenering van P-miciden op te sporen en de min of minder bewust geïntroduceerde alternatieve postulaten weg te spoelen. M. Pont beschouwt P-miciden en p²-miciden als voorlopers van de niet-Euclidische meetkunde, waardoor we ons er geleidelijk aan bewust van werden dat P onbewijsbaar was, dat het verlaten ervan een geometrie (absoluut genoemd) overeind hield die de moeite waard was, vóór de ontkenning ervan. leidde tot de ontwikkeling van de geometrie die nu hyperbolisch wordt genoemd.

Van deze voorlopers is de heer Pont vooral gehecht aan de meest ondernemende, Saccheri, Lambert en Legendre; maar een groot aantal anderen komen voor onze ogen tot leven en vormen een universum dat vakkundig wordt geanalyseerd, volgens trends die zich op hun beurt manifesteren. Meer specifiek zag de ‘tijd van de stille revolutie’, dat wil zeggen de 18e eeuw, opeenvolgende fasen van zekerheid, scepticisme en berusting als opmaat naar het decennium 1820-1830, waarin plotseling de tweeduizend jaar durende verwarring plaatsvond. Vrijwel alle acteurs in dit stuk waren zeker bekend, al zijn we verrast Lagrange in een roemloze houding aan te treffen. De heer Pont geeft ons echter de primeur over twee boeiende manuscripten. Eén, gedateerd 1821 en ondertekend met de enkele letter E, is het werk van een scherpzinnige vreemdeling, die een paar jaar vóór de bouw een glimp opving van het voltooide gebouw. De andere is een zeer overvloedige tekst, vol doorhalingen en herhalingen, waarvan de auteur niemand minder is dan de illustere Fourier, en waarin we ongeveer twintig pogingen vinden om P te bewijzen. Het is niet mogelijk om hier rekening te houden met de verscheidenheid aan ‘demonstraties’. die zo ver gaan dat ze een beroep doen op overwegingen van de statica of de astronomie, en die de heer Pont tot de conclusie brengen: ‘de meetkundige van Auxerre is een groot wiskundige die zichzelf in de loop van zo’n tweehonderdvijftig pagina’s heeft uitgeput in de constructie van een theorie van parallellen die alle verdenking te boven gaat.

We weten dat de verspreiding van de werken van Lobatsjevski en Bolyai vrij langzaam plaatsvond, waardoor wat de heer Pont een niemands tijd, waarbij P-miciden te goeder trouw konden worden geactiveerd, niet wetende dat de bijl was gevallen. Onder deze auteurs heb ik het genoegen het eerbetoon te zien dat wordt gebracht aan de Luikse filosoof Delboeuf, een van de eersten die stilstond bij het werk van Lobatsjevski en het nieuwe tijdperk begroette. De meest actieve propagandisten, Hoüel, generaal de Tilly en Mansion, worden slechts kort genoemd in verband met hun problemen met de onberouwvolle P-miciden; en Battaglini werd in stilte gepasseerd. Deze discretie is ook in overeenstemming met het plan van het eerste deel, waarvan de laatste ontwikkelingen zijn gewijd aan de achterlijken, deze ‘postulators’ die zich niet hebben ontwapend na de openbaring van de niet-Euclidische meetkunde. De heer Pont is van plan hier, aan de hand van een paar goedgekozen gevallen en voordat hij er in een ander deel op zijn gemak op terugkomt, het door Gauss aangekondigde ‘geroep van de Boeotiërs’ op te roepen. Het concentreert zich meer in het bijzonder op de storm die aan de Parijse Academie van Wetenschappen is ontstaan door de standpunten van Joseph Bertrand ten gunste van P-micide Carton. We zullen er zeker geen spijt van krijgen als we zien hoe de auteur een van de bouten losmaakt die nog steeds het standbeeld vasthouden van de pontificerende parvenu die het wonderkind Joseph Bertrand was geworden.