1985 – 8(3)

De stelling van Bernoulli

Als na Pascal de probabilistische terminologie snel ingeburgerd raakte onder wiskundigen en 'demografen', merken we op dat er, althans voor zover wij weten, geen expliciete definitie van waarschijnlijkheid lijkt als een inleiding tot de zowel theoretisch als empirisch vastgestelde resultaten. Bij het bestuderen van kansspelen gebruiken wiskundigen gemakkelijk de uitdrukkingen ‘kans’ en/of ‘waarschijnlijkheid’ om het fractionele getal aan te duiden dat wordt verkregen door het aantal gunstige gevallen te delen door het totale aantal mogelijke gevallen, zolang het maar ‘equipossibles’ zijn [[ D'Alembert, de eerste, zal dit idee in twijfel trekken in het artikel “Croix ou Pile” van deEncyclopedie (in 1754).]]. We zullen deze eerste definitie symboliseren door:

p=m/n
(T)

De getallen m en n zullen, in het geval van kansspelen, via combinatorische analyse worden vastgesteld. De expliciete formulering van deze definitie zal verschijnen in Laplace [(T) komt al voor in A. de Moivre (in 1718), maar eerder als een eigenschap van waarschijnlijkheid (ongedefinieerd). ]] – waaraan het zijn naam dankt – maar zoals we hebben gezien was het impliciet de leidraad voor het theoretische werk uit de tijd van Pascal.

Het apriorisme van de definitie (T) was voor praktijkmensen niet bevredigend. Deze laatsten begrepen, hoewel ze dezelfde terminologie behielden, ‘waarschijnlijkheid’ in een andere zin. Dus toen Halley de waarschijnlijkheid overwoog dat een 30-jarige man binnen vijf jaar zou overlijden, was hij totaal niet in staat om ‘billijke’ gevallen vast te stellen die betrekking hadden op het leven of de dood van het individu. Voor hem zou de waarschijnlijkheid als experimenteel resultaat kunnen worden geschreven in de vorm van het quotiënt van het aantal voorvallen van de gebeurtenis (overlijden binnen 5 jaar voor mannen van 30 jaar) en het totale aantal gemaakte waarnemingen (mannen van 30 jaar in aanmerking genomen). . Deze tweede definitie wordt gesymboliseerd door:

p=u/v (E)

Hier komen u en v voort uit experimentele resultaten. Het door (E) geïntroduceerde concept komt overeen met het moderne begrip ‘relatieve frequentie’.

Op het eerste gezicht vormen waarschijnlijkheid-kans en waarschijnlijkheid-frequentie daarom elk de basis van een precies soort zorg waarvan de enige gemeenschappelijke noemer op terminologisch niveau zou liggen. Maar deze splitsing zou alleen effectief zijn onder de tweeledige voorwaarde dat enerzijds de theoreticus zich beperkt tot de studie van “ideale” situaties en anderzijds de praktijk uitsluitend bezig is met het uitvoeren van metingen zonder enige extrapolatie. Wat niet het geval was. Integendeel, dankzij het impliciete karakter van de twee definities was de samensmelting de regel. En de introductie van probabilistisch redeneren in andere disciplines, zoals astronomie en sociologie, heeft de omvang van het probleem nog vergroot.

Vanaf dat moment werd de behoefte aan een eenheid van de twee waarschijnlijkheidsconcepten gevoeld door zowel gebruikers als theoretici. De stelling van Bernoulli, ook wel "wet van de grote getallen" genoemd, bood de mogelijkheid om het verband tussen (T) en (E) te specificeren. Deze stelling verscheen voor het eerst in het meesterlijke werk van Jacques Bernoulli: Ars Conjectandi (Bernoulli, 1713) waarvan het algemene plan als volgt is:

1. Presentatie van een verhandeling van Huygens (gewijd aan kansspelen), gevolgd door commentaar.
2. Combinatieanalyse.
3. Illustratie van eerdere resultaten door het oplossen van 24 spelproblemen.
4. Toepassingen van theorie in de sociologie, moraliteit en economie (onvoltooid).

De stelling van Bernoulli verschijnt in het vierde deel terwijl de aangekondigde toepassingen ontbreken. De presentatie van deArs Conjectandi getuigt hiervan: Jacques Bernoulli was vooral een theoreticus en volgde, via Huygens, het pad dat werd gevolgd door Pascal en Fermat. Er bestaat dus geen twijfel over dat de gebruikte definitie (T) is.

De door de auteur gedemonstreerde verklaring van de stelling kan eenvoudig als volgt worden samengevat.