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Pierre-Simon, marquis de Laplace

Dès la fin du XVIIIème siècle, Laplace consacra de nombreux mémoires à la théorie des probabilités. La plupart de ceux-ci sont repris dans son œuvre mathématique maîtresse, la Théorie analytique des probabilités dont la première publication date de 1812. Incontestablement cet ouvrage constitue l’exposition la plus élaborée jusqu’alors de la théorie classique des probabilités. Il contient en effet à la fois un recueil de techniques mathématiques nouvelles, dont la plus significative est l’emploi des fonctions génératrices, et un éventail fort vaste d’applications. L’auteur s’intéresse aux jeux de hasard, à l’astronomie, à la sociologie, à la démographie.

Dans l’Essai philosophique sur les probabilités qui, avant d’être édité indépendamment, constitua l’introduction de la Théorie analytique des probabilités, Laplace explicite les principes de sa théorie. Le premier d’entre eux est la définition (T). Il est justifié dans le cadre d’une philosophie purement déterministe. Pour un esprit omniscient, toute connaissance serait certitude. C’est la finitude de la condition humaine qui nous confine à une description probabiliste. Dès lors, « la théorie des hasards consiste à réduire tous les évènements d’un même genre, à un certain nombre de cas également possibles, c’est-à-dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence, et à déterminer le nombre de cas favorables à l’évènement dont on cherche la probabilité » (Laplace, 1840, p. 7). Laplace identifie donc le concept d’« équipossibilité » à celui d’« équi-ignorance » permettant ainsi d’élargir la notion de probabilité à tous les événements imaginables. La voie est alors ouverte pour les applications pratiques de tous genres, dont les jeux bien évidemment [7].

Dans un chapitre du Traité intitulé « Des lois de la probabilité qui résultent de la multiplication indéfinie des évènements » (Laplace, 1887, tome 7, pp. 280-308), l’auteur (re) démontre le théorème de Bernoulli à l’aide des fonctions génératrices et il défend son utilisation inverse comme outil d’inférence :

«  On parvient directement à ces résultats, en considérant p [8]comme une variable qui peut s’étendre depuis zéro jusqu’à l’unité, et en déterminant, d’après les évènements observés, la probabilité [9]de ses diverses valeurs  » (Laplace, 1887, tome 7, p. 287).

Dans l’Essai (Laplace, 1840, pp. 70-71), il reprend l’idée :

« On peut tirer du théorème précédent [de Bernoulli], cette conséquence qui doit être regardée comme une loi générale, savoir, que les rapports des effets de la nature sont, à fort peu près, constants, quand ces effets sont considérés en grand nombre. (...). Il suit encore de ce théorème que, dans une série d’évènements, indéfiniment prolongée, l’action des causes régulières et constantes doit l’emporter sur celle des causes irrégulières ».

Afin d’exploiter ses techniques mathématiques probabilistes en « sciences conjecturales » et en « sciences morales », Laplace pallie la déficience des probabilités a priori tantôt par la pseudo-inférence bernoullienne, tantôt par des considérations extérieures basées sur le « bon sens » :

«  Si dans un tribunal de mille et un juges, cinq cent et un sont d’une opinion, et cinq cents sont de l’opinion contraire, il est visible que la probabilité de l’opinion de chaque juge surpasse bien peu 1/2 ; car en la supposant sensiblement plus grande, une seule voix de différence serait un évènement invraisemblable. Mais si les juges sont unanimes, cela indique dans les preuves ce degré de force qui entraîne la conviction ; la probabilité de chaque juge est donc alors très-près de l’unité ou de la certitude à moins que des passions ou des préjugés communs n’égarent à la fois tous les juges » (Laplace, 1840, p. 158).

Nous sommes donc bien loin de la stricte utilisation de (T). Et pour cause : on serait bien en peine de discerner les « cas favorables » relatifs à la véracité de l’opinion d’un juge. Dans de telles situations, l’auteur utilise des hypothèses - mathématiquement du moins - arbitraires.

[1Pour un historique plus détaillé, on consultera Todhunter (1949), Maistrov (1974) et les nombreux articles de Sheynin parus, pour la plupart, dans la revue Archive for history of exact sciences.

[2Les jeux de hasard constituent des situations « idéales » dans la mesure où l’on peut établir, par l’analyse combinatoire, les probabilités les concernant sans recours à l’expérience. Cette « idéalité » se retrouve par exemple dans l’hypothèse selon laquelle les dés utilisés sont parfaitement homogènes.

[3D’Alembert, le premier, mettra en cause cette notion dans l’article « Croix ou pile » de l’Encyclopédie (en 1754).

[4 (T) apparaît déjà chez A. de Moivre (en 1718) mais plutôt comme une propriété de la probabilité (non définie).

[5Todhunter (1949, p. 73) signale cependant que Leibniz était réticent à l’adopter.

[6On trouvera chez Kneale (1949, pp. 201-214) une étude des différentes tentatives - de Bernoulli à Keynes (1921) en passant par Laplace - de justifier cet usage inverse.

[7Les jeux de hasard constituent bien plus qu’une simple illustration. Ils sont là, à tout instant, utilisés comme exemples, voire même comme modèle, pour la théorie. Dans les pages 1 à 28 (exposé des principes de l’Essai, le jeu de « croix ou pile » est cité aux pages 12, 16, 18, 19, 23, 25 ; le tirage au sort (loterie ou urne) aux pages 7, 9, 15, 19 et 20 ; le jeu de dés n’apparaît qu’en page 13.

[8P désigne ici la probabilité a priori (T).

[9probabilité (E) ici.

[10Comme dans l’exemple cité relatif aux opinions des juges où ni (T) ni (E) ne fournissent immédiatement la probabilité cherchée.



















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