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L’EVOLUTION DU CONCEPT DE PROBABILITE MATHEMATIQUE DE PASCAL A LAPLACE

Ariane SZAFARZ
Docteur en sciences
Assistante à l’Université libre de Bruxelles

Résumé

L’auteur décrit l’évolution du concept de probabilité mathématique de Pascal à Laplace, en insistant sur l’épisode crucial que fut le théorème de Bernoulli. Il apparaît que les théoriciens ont constamment monopolisé les considérations probabilistes. Ce qui s’explique vraisemblablement par l’ambiguïté sémantique du terme « probabilité » dans le langage courant.

Samenvatting

De auteur tekent de ontwikkeling af van het begrip van wiskundige probabiliteit van Pascal tot Laplace door de cruciale episode van het verschijnen van het theorema van Bernoulli te onderlijnen. Zij brengt klaarheid in de voortdurende monopolisering, door de theoretici, van de probabilistische bekommernissen. Een mogelijke uitleg van dit verschijnsel ligt in de semantische dubbelzinnigheid van de term « probabiliteit » in de alledaagse taal.

Abstract

The author outlines the evolution of the concept of mathematical probability from Pascal to Laplace : she insists on the crucial episode being the emergence of Bernoulli’s theorem and show how theoreticians have constantly monopolized probabilistic considerations. A possible explanation of this phenomenon lies in the semantic ambiguity of the term « probability » in the common language.

Actuellement, on convient de distinguer, bien que leur lien demeure à maints égards problématique, la statistique de la théorie des probabilités. Mais, avant le XIXème siècle, une telle scission n’existait pas et seule la théorie des probabilités se présentait comme une discipline mathématique à part entière. Cependant plusieurs hommes de science, et en particulier ceux que nous nommerons les premiers « démographes », abordèrent des problèmes de nature empirique.

Dans cet article, nous retraçons brièvement l’évolution de la théorie des probabilités de Pascal à Laplace [1], en soulignant l’épisode crucial que constitua l’apparition du théorème de Bernoulli, afin de mettre en lumière le mécanisme de monopolisation constante, par les théoriciens, des préoccupations probabilistes. Nous serons amenés à constater qu’en l’ambiguïté sémantique de la « probabilité » dans le langage usuel réside un facteur déterminant dans la compréhension de ce mécanisme.

Les fondateurs de la théorie

Si l’on excepte les précurseurs que furent Cardan, Kepler et Galilée, on peut situer avec précision en 1654 l’origine historique du calcul des probabilités. C’est en effet à cette date que, lors d’un échange de correspondance (Pascal, 1963, pp. 43-49), Pascal et Fermat s’attachèrent à résoudre quelques problèmes relatifs aux jeux de hasard. Le principe général qu’ils utilisèrent consiste en un dénombrement des issues possibles du jeu et d’un partage en cas favorables et défavorables afin de calculer exactement les chances de chacun des joueurs en présence. Pour établir en pratique les dénombrements exigés, Pascal et Fermat créèrent ce qu’il est convenu d’appeler l’analyse combinatoire.

Il nous semble par ailleurs intéressant de constater qu’à aucun endroit du « Traité du triangle arithmétique » ou du « Des combinaisons » de Pascal (Pascal, 1963, pp. 50-63 et 77-83) ne figure explicitement le terme « probabilité ». Ainsi celui que la tradition reconnaîtra comme l’initiateur de la théorie des probabilités ne se préoccupait pour sa part que de « géométrie du hasard ».

Les premiers démographes

Après Pascal et Fermat, quelques mathématiciens comme Huygens, Wallis ou Schooten s’attachèrent à étudier des jeux de hasard et à développer à leur sujet l’outil combinatoire. Ce courant se développera au XVIIIème siècle pour aboutir finalement à l’édification de la théorie des probabilités de Laplace.

Mais, avant de tracer plus précisément les contours de ces recherches, il convient de situer un autre type d’approche, plus « empiriste » de la mesure probabiliste. Dés 1662, avec les travaux de Graunt (Hull, 1963), apparaissent chez plusieurs savants - pas forcément mathématiciens - des préoccupations démographiques. Des tables de mortalité sont dressées à partir de registres de population. Les buts sont divers : Graunt cherche à évaluer les dégâts causés par la peste et les probabilités de mort à chaque âge, Van Hudden et de Witt veulent établir les montants des rentes viagères, Halley utilise les registres de la ville de Breslau afin de calculer des annuités sur la vie pour des personnes seules et pour des couples.

L’importance de ces recherches, fort naïves du point de vue mathématique, est double. D’une part, ces « démographes » de la première heure apportèrent une application non « idéale » [2]de la théorie naissante des probabilités, annonçant déjà l’ambition totalisante des futurs théoriciens que la seule étude des jeux de hasard ne satisfera plus. D’autre part, la considération des tables de mortalité met en évidence la non-applicabilité des calculs combinatoires - a priori - à des domaines où seule l’expérimentation des faits - a posteriori - permet d’établir les résultats recherchés.

[1Pour un historique plus détaillé, on consultera Todhunter (1949), Maistrov (1974) et les nombreux articles de Sheynin parus, pour la plupart, dans la revue Archive for history of exact sciences.

[2Les jeux de hasard constituent des situations « idéales » dans la mesure où l’on peut établir, par l’analyse combinatoire, les probabilités les concernant sans recours à l’expérience. Cette « idéalité » se retrouve par exemple dans l’hypothèse selon laquelle les dés utilisés sont parfaitement homogènes.

[3D’Alembert, le premier, mettra en cause cette notion dans l’article « Croix ou pile » de l’Encyclopédie (en 1754).

[4 (T) apparaît déjà chez A. de Moivre (en 1718) mais plutôt comme une propriété de la probabilité (non définie).

[5Todhunter (1949, p. 73) signale cependant que Leibniz était réticent à l’adopter.

[6On trouvera chez Kneale (1949, pp. 201-214) une étude des différentes tentatives - de Bernoulli à Keynes (1921) en passant par Laplace - de justifier cet usage inverse.

[7Les jeux de hasard constituent bien plus qu’une simple illustration. Ils sont là, à tout instant, utilisés comme exemples, voire même comme modèle, pour la théorie. Dans les pages 1 à 28 (exposé des principes de l’Essai, le jeu de « croix ou pile » est cité aux pages 12, 16, 18, 19, 23, 25 ; le tirage au sort (loterie ou urne) aux pages 7, 9, 15, 19 et 20 ; le jeu de dés n’apparaît qu’en page 13.

[8P désigne ici la probabilité a priori (T).

[9probabilité (E) ici.

[10Comme dans l’exemple cité relatif aux opinions des juges où ni (T) ni (E) ne fournissent immédiatement la probabilité cherchée.



















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